Numerical computation of integrals in higher dimensions

Abstract

Quadrature refers to any method for numerically approximating the value of definite integral a f (x)dx. The goal is to attain a given level of precision with the fewest function evaluations. The factors that control the diffi culty of a numerical integration problem are the dimension of the integral and the smoothness of the integrand f . Any quadrature method relies on evaluating the integrand f on a ï¬ nite set of points (called the abscissas or quadrature points), and after processing these evaluations to produce an approximation to the integral. Usually this involves taking a weighted average. The goal is to determine which points to evaluate and what weight to use so as to maximize performance over a broad class of integrands. This study reviews Monte Carlo and Newton-Cotes methods of numerical approximation of integrals on both rectangular and non rectangular regions and contains new routines that can evaluate integrals up to 7 dimensions over arbitrary regions in MATLAB. The work aims to compare the methods and give some approximation results using our self-written code

f (x)dx şeklindeki belirli integralin nümerik olarak yaklaştırılması işin herhangi bir methot kullanılmasına tümlev alma denir. Amaç en az fonksiyon değerlendirimi ile verilen duyarlılık seviyesinde sonuç elde etmektir. Nümerik bir integral probleminin zorluğunu kontrol eden faktürler integralin boyutu ve fonksiyonun pürüzsüzlüğudür. Her tümlev alma methodu, integrali alınan f foksiyonunu sınırlı sayıda noktada (absis veya tümlev alınan nokta) hesaplamaya dayanır, daha sonra bu değerler bir yaklaşım elde etmede kullanılır. Genelde bu ağırlıklı ortalama almayı gerektirir. Hedef hangi noktalarda fonksiyonun hesaplanacağı ve hangi ağırlıkların kullanılacağıdır, öyle ki integrali alınan fonksiyonlarda en geniş sınıfta maksimum performans elde edilsin. Bu araştırmada integrallerin nümerik yaklaştırılmasında kullanılan Monte Carlo ve Newton-Cotes metodları gözden geçirilmiştir ve MATLAB ile yazılmış 7. Dereceye kadar integralleri herhangi bir bölgede hesaplayabilen yeni programlar içermektedir. Bu çalışmada amaç metotları karşılaştırmak ve kendi yazdığımız kod ile bazı yaklaşım sonuçlarını vermektedir