Some new trends in superintegrable systems

Abstract

The Hamiltonian integrability in classical mechanics and the explicit metrics for a class of two-dimensional cubically superintegrable systems are reviewed. Firstly, the integrals that are quadratic in moments corresponding to the natural Lagrangian systems are discussed with a special view focus to the two-dimensional case. The classical free Lagrangian admitting a constant of motion, in one and two dimensional space, was generalized by using the fractional Caputo derivative. The fractional Killing vectors and Killing-Yano tensors are presented in connection with the hidden symmetries of curved spaces. The Dunkl-Coulomb system in the plane was considered. The model that was defined in terms of the Dunkl Laplacian, involves reflection operators, with a r^(-1) potential. The system is shown to be maximally superintegrable and exactly solvable.

Klasik mekanikteki Hamilton integrallenebilme ve iki boyutlu kübik olarak süperintegrsllenebilir sistemler sınıfı için belirgin metrikler sunulmuştur. İlk olarak, doğal Lagrangian sistemlerine ilişkin momentlerine göre ikinci dereceden olan integraller iki boyuta özel bir bakışla tartışıldı. Bir ve iki boyutlu uzayda bir hareket sabitine izin veren serbest Lagrangian kesirli hesaplamanın Caputo türevi kullanılarak genellestirildi. Kesirli Killing vektörleri ve Killing-Yano tensörleri, eğimli uzayların saklı simetrileri ile bağlantılı olarak sunuldu. Dunkl-Coulomb sistemi düzlemde ele alinmış bulundu. Model, r^(-1 ) potansiyeli ile yansıma operatörleri içeren Dunkl-Laplace operatorü açısından tanımlanmış. Sistemin maksimal süperintegrallenebilir ve tam çözülebilir olduğu gösterilmiştir.